10. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Поскольку ABCD вписан в окружность, угол ADC является противоположным углом к углу ABC. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Следовательно, $$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$$ Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD также опирается на дугу CD. Следовательно, углы CAD и CBD равны. $$\angle CBD = \angle CAD = 83^{\circ}$$ Теперь рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. $$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle CBD - \angle CDB$$ Угол CDB также опирается на дугу CB. Угол CAB также опирается на дугу CB. Следовательно, углы CDB и CAB равны. $$\angle CDB = \angle CAB$$ Угол ABD равен углу ABC минус угол CBD. $$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 138^{\circ} - 83^{\circ} = 55^{\circ}$$ Ответ: 55