7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол \(\angle ABC\) равен 54°, угол \(\angle CAD\) равен 41°. Найдите угол \(\angle ABD\). Ответ дайте в градусах.

Угол \(\angle ACD\) и \(\angle ABD\) опираются на одну и ту же дугу AD, следовательно, они равны: \(\angle ABD = \angle ACD\). Чтобы найти угол \(\angle ACD\), рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). Сумма углов треугольника равна 180°. Угол \(\angle BAC = \angle CAD = 41^\circ\). Тогда, \(\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - 54^\circ - 41^\circ = 85^\circ\). Угол \(\angle ACD\) является частью угла \(\angle ACB\), поэтому \(\angle ACD = \angle ACB - \angle BCD\). Но нам не хватает данных чтобы вычислить угол \(\angle BCD\) напрямую. Вместо этого, заметим, что угол \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 41^{\circ}\). По свойству вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, \(\angle ACD = \angle ABD\). Мы знаем, что \(\angle ABC = 54^{\circ}\) и \(\angle CAD = 41^{\circ}\). Угол \(\angle ACB\) опирается на дугу AB, как и угол \(\angle ADB\), значит \(\angle ADB = \angle ACB\). В четырёхугольнике углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на одну и ту же дугу CD, значит \(\angle CAD = \angle CBD = 41^{\circ}\). \(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 54^{\circ} - 41^{\circ} = 13^{\circ}\). Ответ: 13