Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 56°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Ответ:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

$$\angle ABC = 56°$$ опирается на дугу $$AC$$.

$$\angle CAD = 42°$$ опирается на дугу $$CD$$.

$$\angle ABD$$ опирается на дугу $$AD$$.

$$\angle ACB = \angle CAD = 42°$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD).

$$\angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle ACB = 180° - 56° - 42° = 82°$$

$$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 82° + 42° = 124°$$

$$\angle BCD = 180° - \angle BAD = 180° - 124° = 56°$$

$$\angle ADB = \angle ACB = 42°$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AB)

$$\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 56° - \angle DBC$$

$$\angle ACD = \angle ABD$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD)

Пусть $$\angle ABD = x$$. Тогда $$\angle ACD = x$$.

В треугольнике $$ACD$$: $$\angle ADC = 180° - \angle CAD - \angle ACD = 180° - 42° - x$$

Т.к. $$\angle ADC + \angle ABC = 180°$$, то $$180° - 42° - x + 56° = 180°$$

$$180° - 42° - x + 56° = 180°$$

$$x = 56° - 42° = 14°$$

$$\angle ABD = 14°$$

Ответ: 14