16 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK = 18, DK = 9, BC = 16. Найдите AD.

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд имеем:

$$BK \cdot AK = DK \cdot CK$$

Пусть AD = x. Тогда AK = AB + BK, CK = CD + DK.

По теореме о секущих:

$$BK \cdot (BK + AB) = DK \cdot (DK + DC)$$.

$$BK \cdot AK = CK \cdot DK$$

$$\frac{BK}{DK} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$.

$$\triangle BCK \sim \triangle ADK$$ (по двум углам)

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$

$$\frac{16}{AD} = \frac{18}{9}$$

$$\frac{16}{AD} = 2$$

$$AD = \frac{16}{2} = 8$$

Ответ: 8