3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

По теореме о секущихся хордах, если четырехугольник вписан в окружность, то произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны. В данном случае, точка K лежит вне окружности, и через нее проведены две секущие: KBA и KDC. Тогда KB * KA = KD * KC. Пусть AD = x. Тогда KA = KB + BA = 7 + 10 = 17. KC = KD + DC = 14 + x. Таким образом, 7 * 17 = 14 * (10 + AD) 7 × 17 = 14 × (10+x) 119 = 140 + 14x 14x = 119 - 140 14x = -21 x = -21/14 Т.к. в условии задачи указано, что BC=10, то отрезки KA = KB + BC = 7 + 10 Получается KA = KB + BA = 7 + 10 = 17. KC = KD + DC = 14 + AD. KB × (KB + BC) = KD × (KD + AD) 7 × (7 + 10) = 14 × (14 + AD) 7 × 17 = 14 × (14 + AD) 119 = 196 + 14 × AD 14 × AD = 119 - 196 14 × AD = -77 AD = -77/14 = -11/2 = -5.5 Так как длина отрезка не может быть отрицательной, перепроверим условие и ход решения. Ошибка в рассуждениях. Надо использовать подобие треугольников. Треугольники BCK и ADK подобны (угол K общий, углы при основаниях равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу). Тогда BC/AD = BK/DK 10/AD = 7/14 10/AD = 1/2 AD = 2 × 10 AD = 20 Ответ: AD = 20