Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК=18, DK=9, BC = 16. Найдите AD.

По свойству секущихся прямых, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$$KA \cdot KB = KD \cdot KC$$

Пусть KA = x. Тогда KB = 18, KD = 9.

$$KC = KD + DC$$

По свойству вписанного четырехугольника, $$AD \cdot BC = AC \cdot BD$$.

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, а прямые AB и CD пересекаются в точке K, то треугольники BCK и ADK подобны. Следовательно, выполняется соотношение:

$$\frac{AD}{BC} = \frac{KD}{KB}$$

$$AD = BC \cdot \frac{KD}{KB} = 16 \cdot \frac{9}{18} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

Таким образом, AD = 8.

Ответ: 8