Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK=8, DK = 24, BC=18. Найдите AD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K. BK = 8, DK = 24, BC = 18. Нужно найти AD.

По свойству пересекающихся хорд, если четырехугольник вписан в окружность, то произведения отрезков секущих равны.

$$KB \cdot KA = KD \cdot KC$$

Рассмотрим треугольники \(\triangle BCK\) и \(\triangle ADK\). Угол K общий. Угол \(\angle KBC = \angle ADC\) (вписанные, опираются на одну дугу AC).

Следовательно, \(\triangle BCK \sim \triangle ADK\) по двум углам. Из подобия треугольников следует:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BK}{DK}$$

$$\frac{18}{AD} = \frac{8}{24}$$

$$AD = \frac{18 \cdot 24}{8} = 18 \cdot 3 = 54$$

Ответ: 54