16. Четырёхугольник MNPK вписан в окружность. Угол MNP равен 81° (см. рис. 31). Найдите угол MNK, если угол KMP равен 64°.

Пошаговое решение:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, угол MKP равен углу MNP как вписанные углы, опирающиеся на дугу MP. \( ∠MKP = ∠MNP = 81° \)
2. Сумма углов в треугольнике KMP равна 180°. \( ∠KMP + ∠MKP + ∠PKM = 180° \) \( 64° + 81° + ∠PKM = 180° \) \( ∠PKM = 180° - 64° - 81° = 35° \)
3. Углы MNK и MPK вписаны в окружность. Сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность, равна 180°. \( ∠MNK + ∠MPK = 180° \)
4. Угол MPK состоит из углов MPK и KPM. \( ∠MPK = ∠KPM + ∠KPM = 35° \)
5. Угол MNK = 180° - угол MPK = 180° - (35°) = 145°

Ответ: 145°