838. Число 96 является членом геометрической прогрессии Найдите номер этого члена.

Ответ: 6

Решение:

Задана геометрическая прогрессия: \(\frac{3}{8}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, ...\)

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии \(q\).

Для этого разделим второй член на первый: \[q = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2\]

Шаг 2: Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

В нашем случае: \[b_n = \frac{3}{8} \cdot 2^{n-1}\]

Шаг 3: Подставим значение \(b_n = 96\) и найдем \(n\): \[96 = \frac{3}{8} \cdot 2^{n-1}\]

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на \(\frac{8}{3}\): \[96 \cdot \frac{8}{3} = 2^{n-1}\]\[\frac{96 \cdot 8}{3} = 2^{n-1}\]\[\frac{32 \cdot 3 \cdot 8}{3} = 2^{n-1}\]\[32 \cdot 8 = 2^{n-1}\]\[256 = 2^{n-1}\]

Шаг 5: Заметим, что \(256 = 2^8\), поэтому: \[2^8 = 2^{n-1}\]

Шаг 6: Приравняем показатели степеней: \[8 = n - 1\]

Шаг 7: Решим уравнение относительно \(n\): \[n = 8 + 1 = 9\]

Ответ: 9