10. Число A даёт остаток 1 от деления на 6. Какой остаток от деления на 6 даёт число $$B = A^2 + (4A)^2$$?

Так как число $$A$$ даёт остаток 1 от деления на 6, можно записать $$A = 6k + 1$$ для некоторого целого числа $$k$$. Тогда $$B = A^2 + (4A)^2 = A^2 + 16A^2 = 17A^2$$. Подставим $$A = 6k + 1$$ в выражение для $$B$$: $$B = 17(6k + 1)^2 = 17(36k^2 + 12k + 1) = 17 * 36k^2 + 17 * 12k + 17 = 612k^2 + 204k + 17$$. Теперь найдём остаток от деления $$B$$ на 6: $$B \mod 6 = (612k^2 + 204k + 17) \mod 6$$ Так как $$612$$ и $$204$$ делятся на 6 без остатка, имеем: $$B \mod 6 = (0 + 0 + 17) \mod 6 = 17 \mod 6 = 5$$. Ответ: 5