Число \(A\) даёт остаток 3 от деления на 9. Какой остаток от деления на 9 даёт число \(B = A^2 + (2A)^2\)?

Если число \(A\) дает остаток 3 при делении на 9, то можно записать: \(A = 9k + 3\), где \(k\) - некоторое целое число. Тогда \(B = A^2 + (2A)^2 = A^2 + 4A^2 = 5A^2\). Подставим выражение для \(A\): \(B = 5(9k + 3)^2 = 5(81k^2 + 54k + 9) = 405k^2 + 270k + 45\) Теперь нужно найти остаток от деления \(B\) на 9: \(B = 405k^2 + 270k + 45 = 9(45k^2 + 30k + 5)\) Так как \(405k^2\) делится на 9, \(270k\) делится на 9, и 45 делится на 9 (\(45 = 9 \cdot 5\)), то \(B\) делится на 9 без остатка. Значит, остаток от деления \(B\) на 9 равен 0. Ответ: 0