282. 1) cos (+), где sina = и 0<<; 2) cos (--), где cosa = - и <α<π.

282.

1) cos($$\frac{\pi}{3}$$ + α), где sinα = $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и 0 < α < $$\frac{\pi}{2}$$

Используем формулу косинуса суммы: cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ

cos($$\frac{\pi}{3}$$ + α) = cos($$\frac{\pi}{3}$$)cos(α) - sin($$\frac{\pi}{3}$$)sin(α) = $$\frac{1}{2}$$cosα - $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$sinα

Так как sinα = $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$, cos²α = 1 - sin²α = 1 - $$\frac{1}{3}$$ = $$\frac{2}{3}$$. Так как 0 < α < $$\frac{\pi}{2}$$, то cosα > 0, следовательно cosα = $$\sqrt{\frac{2}{3}}$$ = $$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ = $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$

cos($$\frac{\pi}{3}$$ + α) = $$\frac{1}{2}$$ · $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$ - $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ · $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ = $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$ - $$\frac{1}{2}$$ = $$\frac{\sqrt{6} - 3}{6}$$

2) cos(α - $$\frac{\pi}{4}$$), где cosα = -$$\frac{1}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}$$ < α < π

Используем формулу косинуса разности: cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

cos(α - $$\frac{\pi}{4}$$) = cosαcos($$\frac{\pi}{4}$$) + sinαsin($$\frac{\pi}{4}$$) = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$cosα + $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sinα

Так как cosα = -$$\frac{1}{3}$$, sin²α = 1 - cos²α = 1 - $$\frac{1}{9}$$ = $$\frac{8}{9}$$. Так как $$\frac{\pi}{2}$$ < α < π, то sinα > 0, следовательно sinα = $$\sqrt{\frac{8}{9}}$$ = $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

cos(α - $$\frac{\pi}{4}$$) = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ · (-$$\frac{1}{3}$$) + $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ · $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ = -$$\frac{\sqrt{2}}{6}$$ + $$\frac{4}{6}$$ = $$\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$$

Ответ: 1) $$\frac{\sqrt{6} - 3}{6}$$, 2) $$\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$$