cos a + 2 cos 2a + cos 30 sina + 2 sin 2a + sin 30 = ctg 20

Ответ: \(\operatorname{ctg} 2 \alpha\)

1. Сгруппируем члены в числителе и знаменателе:\[\frac{\cos \alpha + 2 \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\sin \alpha + 2 \sin 2\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{(\cos \alpha + \cos 3\alpha) + 2 \cos 2\alpha}{(\sin \alpha + \sin 3\alpha) + 2 \sin 2\alpha}\]
2. Применим формулы суммы косинусов и синусов:\[\cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha\]\[\sin \alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha\]
3. Подставим полученные выражения обратно:\[\frac{2 \cos 2\alpha \cos \alpha + 2 \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos \alpha + 2 \sin 2\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)}{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)}\]
4. Сократим дробь:\[\frac{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)}{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha\]

Ответ: \(\operatorname{ctg} 2 \alpha\)