sin (π/4 + α) - sin (3π/4 + α)

Ответ: \(- \sqrt{2} \sin(\alpha)\)

1. Применим формулу разности синусов: \[ \sin(x) - \sin(y) = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \]
2. В нашем случае: \[ x = \frac{\pi}{4} + \alpha, \quad y = \frac{3\pi}{4} + \alpha \]
3. Подставим значения: \[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{3\pi}{4} + \alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - \frac{3\pi}{4} - \alpha}{2}\right) \]
4. Упростим аргументы косинуса и синуса: \[ = 2 \cos\left(\frac{\pi + 2\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \]
5. Используем формулы приведения и значение синуса: \[ = 2(-\sin(\alpha)) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} \sin(\alpha) \]

Ответ: \(- \sqrt{2} \sin(\alpha)\)