д) Дано: ∆ ABC - равносторонний, AB = 4√3. O - центр окружности, описанной около ∆ABC. MO = 3. Найти MB.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, описанный около окружности с центром O. Так как треугольник равносторонний, все его углы равны 60°.

Пусть сторона AB = 4√3.

Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

где a — сторона треугольника.

В нашем случае:

$$R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$$

Следовательно, AO = BO = CO = 4 (радиусы описанной окружности).

Дано, что MO = 3. Нужно найти MB.

Треугольник MOB состоит из отрезков MO = 3 и OB = 4. Так как точка O - центр окружности, MO - перпендикуляр, опущенный из центра к стороне AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной стороны и радиусом (например, треугольник, образованный центром, вершиной и серединой стороны).

В нашем случае, MO - перпендикуляр к AB. Рассмотрим треугольник MOB. Если принять, что MO перпендикулярно плоскости ABC, то MOB будет прямоугольным.

Если MO перпендикулярно AB, то треугольник MOB - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

$$MB^2 = MO^2 + OB^2$$

$$MB = \sqrt{MO^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: MB = 5.