7. DABC — правильный тетраэдр, BC = 4. Найдите P_TKC.

Поскольку DABC - правильный тетраэдр, все его ребра равны. Следовательно, BC = AB = AC = BD = CD = AD = 4.

Точки T и K — середины ребер AD и BD соответственно. Значит, TK — средняя линия треугольника ABD.

По свойству средней линии треугольника, TK || AB и TK = 1/2 * AB = 1/2 * 4 = 2.

Так как треугольник TKC лежит в плоскости, параллельной плоскости ABC, и TC = KC (так как T и K — середины ребер AD и BD, а DABC — правильный тетраэдр), то треугольник TKC — равнобедренный.

TC = KC = √(DC² - DK²) = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3.

Периметр треугольника TKC равен P_TKC = TK + TC + KC = 2 + 2√3 + 2√3 = 2 + 4√3.

Ответ: P_TKC = 2 + 4√3.