5. Дачник собирал дождевую воду в бак. Первая часть бака заполнилась со скоростью, в 2 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака. Но затем дождь усилился, и скорость заполнения оставшейся части бака выросла в 3 раза по сравнению со скоростью заполнения его первой части. Скорость заполнения — это количество литров воды, попадающих в бак за один час. 1) Чему равно отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака? 2) Найдите отношение объёмов второй и первой частей бака.

Пусть (V) – полный объем бака, (t) – время полного заполнения бака, (v) – средняя скорость заполнения. Тогда (V = vt). Пусть (v_1) – скорость заполнения первой части бака, (v_2) – скорость заполнения второй части бака, (t_1) – время заполнения первой части, (t_2) – время заполнения второй части, (V_1) – объем первой части, (V_2) – объем второй части. Дано: (v_1 = v/2) (v_2 = 3v_1 = 3v/2) (V = V_1 + V_2) (t = t_1 + t_2) 1) Найдём отношение времён (t_1 / t_2). (V_1 = v_1 t_1 = (v/2) t_1) (V_2 = v_2 t_2 = (3v/2) t_2) (V = (v/2) t_1 + (3v/2) t_2) Так как (V = vt), то (vt = (v/2) t_1 + (3v/2) t_2). Разделим обе части на (v): (t = (1/2) t_1 + (3/2) t_2) Так как средняя скорость (v = V/t), и первую часть бака заполняли в 2 раза медленнее, а вторую в 3 раза быстрее: Средняя скорость (v = (V_1 + V_2)/(t_1 + t_2) = V/t) (t = t_1 + t_2) Подставим (t = (1/2) t_1 + (3/2) t_2) в (t = t_1 + t_2): (t_1 + t_2 = (1/2) t_1 + (3/2) t_2) (t_1 - (1/2) t_1 = (3/2) t_2 - t_2) ((1/2) t_1 = (1/2) t_2) (t_1 = t_2) Отношение времен (t_1 / t_2 = 1) 2) Найдём отношение объёмов (V_2 / V_1). (V_1 = (v/2) t_1) (V_2 = (3v/2) t_2) (V_2 / V_1 = ((3v/2) t_2) / ((v/2) t_1) = (3v t_2) / (v t_1)) Так как (t_1 = t_2), то (V_2 / V_1 = 3) Ответ: 1) 1; 2) 3.