Дан куб ABCD A₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AB, точка L — ребру CD. При этом AK : KB = 1 : 3, CL : LD = 1 : 4. Проведена прямая KL. Используя рисунок, ответьте на вопросы: а) Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости A₁D₁D. б) Найдите точку пересечения прямых KL и BC. в) Укажите линию пересечения плоскостей ABC и B₁EF. г) Найдите длину отрезка B₁K. д) Вычислите длину отрезка KL. е) Найдите длину отрезка BF.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), B₁(a; 0; a).

Так как AK : KB = 1 : 3, то AK = a/4, поэтому K(a/4; 0; 0).

Так как CL : LD = 1 : 4, то CL = a/5, поэтому L(4a/5; a; 0).

Прямая KL лежит в плоскости ABC. Её продолжение пересекает плоскость A₁D₁D (x = 0) в точке E, а прямую BC — в точке F.

а) Точка пересечения прямой KL и плоскости A₁D₁D — E.

б) Точка пересечения прямых KL и BC — F.

в) Плоскости ABC и B₁EF имеют общие точки E и F, поэтому их линия пересечения — прямая EF.

г) Из прямоугольного треугольника AB₁K: \(B_1K=\sqrt{(a-a/4)^2+a^2}=\sqrt{(3a/4)^2+a^2}=\sqrt{25a^2/16}=5a/4\).

д) \(KL=\sqrt{(4a/5-a/4)^2+(a-0)^2}=\sqrt{(11a/20)^2+a^2}=\sqrt{521a^2/400}=a\sqrt{521}/20\).

Для точки F получаем её координату по прямой KL: \(F(a;15a/11;0)\). Поэтому \(BF=15a/11\).

Ответ: а) E; б) F; в) EF; г) \(5a/4\); д) \(a\sqrt{521}/20\); е) \(15a/11\).