Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $AB_1C_1$. б) Найдите угол между плоскостями $AB_1C_1$ и $A_1B_1C$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $AB_1C_1$. б) Найдите угол между…$ Фото задания

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $AB_1C_1$. б) Найдите угол между плоскостями $AB_1C_1$ и $A_1B_1C$.

Accepted Answer

Пусть ребро куба равно $a$. Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$, а верхние вершины имеют координату $z=a$.

а) Направляющий вектор прямой $B_1D$: $\overrightarrow{DB_1}=(a,-a,a)$. В плоскости $AB_1C_1$ лежат векторы $\overrightarrow{AB_1}=(a,0,a)$ и $\overrightarrow{AC_1}=(a,a,a)$. Скалярные произведения:

\[\overrightarrow{DB_1}\cdot\overrightarrow{AB_1}=a^2-a^2=0,\qquad \overrightarrow{DB_1}\cdot\overrightarrow{AC_1}=a^2-a^2+a^2\,?\]

При этих координатах $C_1=(a,a,a)$, поэтому второе произведение равно $a^2-a^2+a^2=a^2$, то есть не равно нулю. Следовательно, утверждение в условии с указанной плоскостью $AB_1C_1$ неверно: прямая $B_1D$ не перпендикулярна этой плоскости.

Проверка напрямую: нормаль к плоскости можно получить как $\overrightarrow{AB_1}\times\overrightarrow{AC_1}$, пропорциональную $(-1,0,1)$. Она не параллельна $\overrightarrow{DB_1}=(1,-1,1)$, значит, перпендикулярности нет.

б) Для плоскости $AB_1C_1$ нормаль пропорциональна $(-1,0,1)$. Для плоскости $A_1B_1C$: $\overrightarrow{A_1B_1}=(a,0,0)$, $\overrightarrow{A_1C}=(a,a,-a)$, поэтому нормаль пропорциональна $(0,1,1)$. Их скалярное произведение равно $1$, а длины обеих нормалей равны $\sqrt2$. Косинус острого угла между плоскостями равен $\frac12$, значит, угол равен $60^\circ$.

Ответ: а) утверждение неверно для указанной плоскости; б) $60^\circ$.

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). а) Докажите, что прямая \(B_1D\) перпендикулярна плоскости \(AB_1C_1\). б) Найдите угол между плоскостями \(AB_1C_1\) и \(A_1B_1C\).

Ответ: