В кубе \(A_1...D_1\) найдите косинус угла между прямой \(BD_1\) и плоскостью \((CDD_1)\).

Обозначим ребро куба через \(a\). Ортогональная проекция точки \(B\) на плоскость грани \((CDD_1)\) — точка \(C\), а точка \(D_1\) уже лежит в этой плоскости. Поэтому проекция отрезка \(BD_1\) на плоскость — отрезок \(CD_1\).

В прямоугольном треугольнике \(BCD_1\): \(BC=a\), \(CD_1=a\sqrt{2}\), так как \(CD_1\) — диагональ квадратной грани. Тогда \(BD_1=\sqrt{BC^2+CD_1^2}=a\sqrt{3}\).

Косинус угла между прямой и плоскостью равен отношению длины проекции отрезка к длине самого отрезка:

\[\cos\varphi=\frac{CD_1}{BD_1}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).