Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), \(DM=MD_1\). Найдите угол между прямыми \(AD_1\) и \(BM\).Фото задания

Ответ:

Равенство \(DM=MD_1\) само по себе не задаёт положение точки \(M\): без дополнительного условия угол определить однозначно нельзя. Если подразумевается, что \(M\) лежит на ребре \(DD_1\), то из равенства следует, что \(M\) — середина этого ребра.

  1. Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(D=(0,a,0)\), \(D_1=(0,a,a)\). Тогда середина \(DD_1\) — точка \(M=(0,a,\frac a2)\).

  2. Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AD_1}=(0,a,a)\), \(\overrightarrow{BM}=(-a,a,\frac a2)\).

  3. Их скалярное произведение равно \(\frac32a^2\), а длины — \(|\overrightarrow{AD_1}|=a\sqrt2\) и \(|\overrightarrow{BM}|=\frac32a\).

  4. Следовательно, \(\cos\varphi=\frac{\frac32a^2}{a\sqrt2\cdot\frac32a}=\frac1{\sqrt2}\), откуда \(\varphi=45^\circ\).

Ответ при условии \(M\in DD_1\): \(45^\circ\). Без этого условия данных недостаточно.