Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и M∈D₁C₁, N∈CC₁. Построить (если это возможно) точку пересечения K прямой MN и данной плоскостью: а) (AA₁D); б) (ABC); в) (A₁B₁B).

Так как точки M и N лежат на грани DCC₁D₁, прямая MN лежит в плоскости этой грани.

а) Плоскости (AA₁D) и (DCC₁D₁) пересекаются по прямой DD₁. Поэтому точку пересечения строим так: продолжаем прямую MN до пересечения с DD₁.

\(K_a = MN \cap DD₁\).

б) Плоскости (ABC) и (DCC₁D₁) пересекаются по прямой DC. Поэтому точку пересечения строим так: продолжаем прямую MN до пересечения с DC.

\(K_b = MN \cap DC\).

в) Плоскость (A₁B₁B) параллельна грани DCC₁D₁, в которой лежит прямая MN. Следовательно, прямая MN параллельна плоскости (A₁B₁B) и не пересекает её.

Ответ: а) \(K_a=MN\cap DD₁\); б) \(K_b=MN\cap DC\); в) пересечение невозможно, так как \(MN\parallel(A₁B₁B)\).