Дан куб АВBCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и ВМ, где М - середина ребра DD1.

Примем вершину D за начало координат (0,0,0). Пусть сторона куба равна 2. Тогда координаты вершин: A(2,0,0), D1(0,0,2), B(2,2,0), M(0,0,1).

Найдем векторы прямых: AD1 = D1 - A = (0-2, 0-0, 2-0) = (-2, 0, 2). BM = M - B = (0-2, 0-2, 1-0) = (-2, -2, 1).

Найдем скалярное произведение векторов: AD1 · BM = (-2)(-2) + (0)(-2) + (2)(1) = 4 + 0 + 2 = 6.

Найдем длины векторов: |AD1| = sqrt((-2)^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2). |BM| = sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 1^2) = sqrt(4+4+1) = sqrt(9) = 3.

Найдем косинус угла между векторами: cos(угла) = (AD1 · BM) / (|AD1| · |BM|) = 6 / (2*sqrt(2) * 3) = 6 / (6*sqrt(2)) = 1/sqrt(2). Угол равен 45°.