Дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(AB = 4\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\).

Пусть \(a\) - сторона квадрата. Тогда \(|\overrightarrow{BC}| = a = 4\).

Вектор \(\overrightarrow{CA}\) является диагональю квадрата, поэтому его длина равна \(a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).

Угол между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) равен 135 градусов.

Скалярное произведение векторов находится по формуле:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot cos(135^\circ)$$

Подставим значения:

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot cos(135^\circ) = 16\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -16$$

Ответ: -16