Дан параллелограмм FECD, площадь которого равна 3. Через середину M стороны FD и вершину C проведена прямая, пересекающая диагональ ED в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMFE.

Введём координаты: F=(0; 0), D=(2; 0), E=(x; h), C=(x+2; h). Тогда M=(1; 0), а площадь параллелограмма равна 2h=3.

Точка O делит диагональ ED в отношении EO:OD=2:1. Это следует из пересечения ED и CM: на прямой ED точка имеет вид E+t(D−E), а на CM — C+t(M−C); приравнивая координаты, получаем 3t=2.

Следовательно, высота O над FD равна h/3. Площадь четырёхугольника OMFE равна сумме площадей треугольников OFM и OME. Их основания FM=1 и EM (для второго удобно взять основание EM с той же высотой, что у параллелограмма); либо непосредственно по координатам площадь OMFE равна 5h/6.

Так как 2h=3, то h=3/2, и площадь OMFE равна 5·(3/2)/6=5/4.

Ответ: 5/4.