Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Пусть вершины правильного восьмиугольника обозначены последовательно \(A_1,A_2,\ldots,A_8\). Соединим вершины через одну: \(A_1A_3, A_3A_5, A_5A_7, A_7A_1\).

Центральный угол правильного восьмиугольника равен \(360^\circ:8=45^\circ\). Между соседними выбранными вершинами находятся две дуги, поэтому центральные углы, соответствующие сторонам получившегося четырёхугольника, равны \(90^\circ\).

Равные центральные углы стягивают равные хорды, значит \(A_1A_3=A_3A_5=A_5A_7=A_7A_1\). Каждый вписанный угол получившегося четырёхугольника опирается на диаметр и равен \(90^\circ\). Следовательно, все его углы прямые, а все стороны равны.

Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и прямыми углами является квадратом.

Что и требовалось доказать.