В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 6.

Дано:

• ABCD — трапеция
• AB = CD (трапеция равнобедренная)
• CH — высота, CH ⊥ AD
• KM — средняя линия, KM = 16
• BC = 6

Найти: HD

Решение:

1. Свойства равнобедренной трапеции:

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, углы при каждом основании равны, а отрезки, на которые высота делит большее основание, равны. То есть, если опустить высоту из B на AD (назовем основание B1), то AB1 = HD.

2. Средняя линия трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\[ KM = \frac{BC + AD}{2} \]

Подставляем известные значения:

\[ 16 = \frac{6 + AD}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 32 = 6 + AD \]

Найдем длину основания AD:

\[ AD = 32 - 6 = 26 \]

3. Нахождение HD:

В равнобедренной трапеции из вершин меньшего основания опускаем высоты на большее основание. Эти высоты делят большее основание на три отрезка: два равных крайних отрезка и средний отрезок, равный меньшему основанию.

Пусть BH1 — высота из B на AD, а CH — высота из C на AD. Тогда BC = H1H.

AD = AH1 + H1H + HD

Так как трапеция равнобедренная, то AH1 = HD.

AD = HD + BC + HD

AD = 2  HD + BC

Подставим известные значения AD и BC:

\[ 26 = 2  HD + 6 \]

Вычтем 6 из обеих частей:

\[ 20 = 2  HD \]

Разделим обе части на 2:

\[ HD = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ: 10