В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия КМ трапеции равна 16, а меньшее основание ВС равно 6.

Задание 7. Трапеция

Дано:

• Трапеция ABCD.
• AB = CD (трапеция равнобедренная).
• CH - высота, CH \(\perp\) AD.
• KM - средняя линия, KM = 16.
• BC = 6.

Найти: HD.

Решение:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[ KM = \frac{BC + AD}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ 16 = \frac{6 + AD}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 32 = 6 + AD \]

Найдем длину основания AD:

\[ AD = 32 - 6 = 26 \]

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из концов меньшего основания на большее, отсекают от большего основания равные отрезки.

Из точки B опустим высоту BH к основанию AD. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то AB = CD и \(\angle BAD = \angle CDA \). Треугольники ABH и CDH равны по гипотенузе и острому углу (или по катету и гипотенузе, если использовать CH = BH).

Из равенства треугольников ABH и CDH следует, что AH = HD.

Больше основание AD можно представить как сумму трех отрезков: AH + BC + HD.

\( AD = AH + BC + HD \)

Поскольку AH = HD, то:

\[ 26 = HD + 6 + HD \]

Объединим подобные члены:

\[ 26 = 2 · HD + 6 \]

Вычтем 6 из обеих частей:

\[ 20 = 2 · HD \]

Разделим обе части на 2:

\[ HD = 10 \]

Ответ: 10