16. Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Его диагональ $$AC_1$$ составляет с ребрами $$B_1C_1$$ и $$D_1C_1$$ угол 60°. Найдите угол между прямыми $$AC_1$$ и $$CC_1$$.

Решение: Обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда как $$AB = a$$, $$BC = b$$, $$CC_1 = c$$. Угол между $$AC_1$$ и $$B_1C_1$$ равен углу между $$AC_1$$ и $$AD$$ (т.к. $$B_1C_1 || AD$$). Угол между $$AC_1$$ и $$D_1C_1$$ равен углу между $$AC_1$$ и $$BC$$ (т.к. $$D_1C_1 || BC$$). Оба этих угла равны $$60^{\circ}$$. Тогда $$\angle CAC_1 = \alpha$$, $$\angle ACC_1 = \beta$$. Нам нужно найти угол $$\beta$$. Рассмотрим треугольник $$ACC_1$$. Он прямоугольный, т.к. $$CC_1 \perp AC$$. По теореме косинусов для $$\triangle ADC$$: $$AC^2 = AD^2 + DC^2 = b^2 + a^2$$. По теореме косинусов для $$\triangle ACC_1$$: $$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$$. Из условия $$\angle CAD_1 = 60^{\circ}$$ и $$\angle CAB_1 = 60^{\circ}$$. $$\cos(60^{\circ}) = \frac{AD}{AC_1} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{1}{2}$$. $$\cos(60^{\circ}) = \frac{AB}{AC_1} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{1}{2}$$. Отсюда $$a = b$$. Тогда $$\frac{a}{\sqrt{2a^2+c^2}} = \frac{1}{2}$$, $$4a^2 = 2a^2 + c^2$$, $$c^2 = 2a^2$$, $$c = a\sqrt{2}$$. Тогда $$\cos(\beta) = \frac{CC_1}{AC_1} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+a^2+2a^2}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{4a^2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Значит, $$\beta = 45^{\circ}$$. Ответ: **45°**