15. Дана функция f(x) = |x-2| - |x+2|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях k уравнение f(x) = kx имеет ровно одно решение?

Решение: 1) Построим график функции $$y = f(x) = |x-2| - |x+2|$$. Рассмотрим различные случаи для раскрытия модулей: * Если $$x < -2$$, то $$|x-2| = -(x-2)$$ и $$|x+2| = -(x+2)$$. Тогда $$f(x) = -(x-2) - (-(x+2)) = -x + 2 + x + 2 = 4$$. * Если $$-2 \le x < 2$$, то $$|x-2| = -(x-2)$$ и $$|x+2| = x+2$$. Тогда $$f(x) = -(x-2) - (x+2) = -x + 2 - x - 2 = -2x$$. * Если $$x \ge 2$$, то $$|x-2| = x-2$$ и $$|x+2| = x+2$$. Тогда $$f(x) = (x-2) - (x+2) = x - 2 - x - 2 = -4$$. Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = \begin{cases} 4, & x < -2 \\ -2x, & -2 \le x < 2 \\ -4, & x \ge 2 \end{cases}$$ ```html ``` 2) Уравнение $$f(x) = kx$$ имеет ровно одно решение, когда прямая $$y = kx$$ пересекает график $$y = f(x)$$ в одной точке. * При $$k = 0$$, $$f(x) = 0$$, что соответствует $$-2x = 0$$, т.е. $$x = 0$$. Это одно решение. * Прямая $$y = kx$$ должна проходить через угловую точку графика $$y = f(x)$$ при $$x = -2$$. То есть, $$f(-2) = k(-2)$$. Так как $$f(-2) = -2(-2) = 4$$, то $$4 = -2k$$, откуда $$k = -2$$. * При $$k = -2$$, прямая $$y = -2x$$ совпадает с частью графика функции $$f(x)$$ на интервале $$[-2, 2]$$. Поэтому в данном случае уравнение имеет бесконечно много решений. * Рассмотрим случай когда $$k < 0$$ и прямая касается горизонтального участка $$y=4$$. Это не возможно * Рассмотрим случай когда $$k > 0$$. Видим, что при $$k > 0$$ есть три решения. Не подходит. Таким образом, единственное значение $$k$$, при котором уравнение $$f(x) = kx$$ имеет ровно одно решение, это $$k=0$$. Ответ: **k = 0**