Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого ∠D-прямой, катет AD=3 см и ∠DAC=30°. Найдите:

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ADC, где ∠D = 90°, AD = 3 см, ∠DAC = 30°.

а) остальные стороны ADC

Найдем катет DC. Используем тангенс угла DAC:

\[ \text{tg}(\angle DAC) = \frac{DC}{AD} \]

\( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{DC}{3 \text{ см}} \)

Так как \( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{DC}{3} \]

\( DC = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \) см.

Найдем гипотенузу AC. Используем косинус угла DAC:

\[ \text{cos}(\angle DAC) = \frac{AD}{AC} \]

\( \text{cos}(30^{\circ}) = \frac{3 \text{ см}}{AC} \)

Так как \( \text{cos}(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{AC} \]

\( AC = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.

б) площадь AADC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \]

\( S = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot \sqrt{3} \text{ см} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см².

в) длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Пусть h — высота, проведенная из вершины D к гипотенузе AC. Площадь треугольника также можно выразить как:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \]

Приравниваем два выражения для площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

\( \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \text{ см} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \)

\( \sqrt{3} \text{ см} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \)

\[ h = \(\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\) = \(\frac{3}{2}\) = 1.5 \) см.

Ответ: а) DC = √3 см, AC = 2√3 см; б) S = 3√3/2 см²; в) h = 1.5 см.