В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, АС=8 см, ∠ABC =45°. Найдите:

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, АС=8 см, ∠ABC =45°.

а) AB;

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠BAC = 180° - 90° - 45° = 45°.

Поскольку ∠ABC = ∠BAC = 45°, треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником. Катеты равны: BC = AC = 8 см.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\( AB^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \)

\( AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \) см.

б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \) см².

2. Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \).

Приравниваем площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = 32 \]

\( \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot CD = 32 \)

\( 4\sqrt{2} \cdot CD = 32 \)

\[ CD = \frac{32}{4\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \]

Рационализируем знаменатель:

\[ CD = \(\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\) = \(\frac{8\sqrt{2}}{2}\) = 4\(\sqrt{2}\) \) см.

Ответ: а) AB = 8√2 см; б) CD = 4√2 см.