4. Дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС. Постройте вектор \(\vec{p} = \vec{AB} + \vec{AC} - \vec{BC}\) и найдите \(|\vec{p}|\), если АВ = 8 см.

Чтобы решить эту задачу, необходимо упростить выражение для вектора p и затем найти его длину.

1. Упростим выражение для вектора p: \(\vec{p} = \vec{AB} + \vec{AC} - \vec{BC}\).
2. Преобразуем выражение, используя то, что \(-\vec{BC} = \vec{CB}\): \(\vec{p} = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{CB}\).
3. Перегруппируем слагаемые: \(\vec{p} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{AC}\).
4. Сложим векторы AB и CB. Так как CB + BA = CA, то AB + CB = -CA.
5. Подставим полученное выражение: \(\vec{p} = -\vec{CA} + \vec{AC}\).
6. Т.к. -CA = AC, то \(\vec{p} = \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{AC}\).
7. Таким образом, вектор p равен удвоенному вектору AC.

Теперь найдем длину вектора p, зная, что AB = 8 см.

Т.к. в прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой ВС, векторы AB и AC перпендикулярны, по теореме Пифагора BC^2 = AB^2 + AC^2. Нам нужно найти AC.

Так как по условию дано только значение AB, мы не можем точно определить длину AC. Предположим, что треугольник ABC равнобедренный, тогда AB = AC = 8 см.

В этом случае, |p| = 2|AC| = 2 × 8 = 16 см.

Ответ: \(\vec{p} = 2\vec{AC}\) и \(|\vec{p}| = 16 \text{ см}\) (при условии, что AB = AC).