3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Через точку А₁ на стороне АС проведена прямая, параллельная его основанию, которая пересекает сторону ВС в точке В₁. Докажите, что треугольник А₁В₁С тоже равнобедренный.

Доказательство: 1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то углы при основании AB равны: ∠BAC = ∠ABC. 2. По условию, A₁B₁ || AB. Следовательно, углы ∠CA₁B₁ и ∠CAB являются соответственными углами при параллельных прямых A₁B₁ и AB и секущей AC. Значит, ∠CA₁B₁ = ∠CAB. Аналогично, углы ∠CB₁A₁ и ∠CBA являются соответственными углами при параллельных прямых A₁B₁ и AB и секущей BC. Значит, ∠CB₁A₁ = ∠CBA. 3. Так как ∠CAB = ∠ABC, то и ∠CA₁B₁ = ∠CB₁A₁. 4. В треугольнике A₁B₁C углы при основании A₁B₁ равны (∠CA₁B₁ = ∠CB₁A₁), следовательно, треугольник A₁B₁C является равнобедренным. Таким образом, треугольник А₁В₁С тоже равнобедренный.