Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

Для решения данной задачи необходимо выполнить построения с помощью циркуля и линейки.

а) Биссектриса АК:

1. Из вершины А проводим дугу произвольного радиуса, которая пересекает стороны АВ и АС в точках.
2. Из точек пересечения проводим две дуги одинакового радиуса, большего половины расстояния между этими точками.
3. Точка пересечения этих дуг (внутри треугольника) соединяется с вершиной А. Полученная линия является биссектрисой АК.

б) Медиана ВМ:

1. Находим середину стороны АС. Для этого циркулем из точек А и С проводим по две дуги одинакового радиуса (большего половины длины АС) так, чтобы они пересекались с обеих сторон отрезка АС.
2. Проводим прямую через точки пересечения дуг. Эта прямая делит отрезок АС пополам, и точка пересечения прямой и стороны АС является серединой М.
3. Соединяем вершину В с точкой М. Отрезок ВМ - медиана.

в) Высота СН треугольника:

1. Из вершины С проводим дугу произвольного радиуса, которая пересекает сторону АВ в двух точках.
2. Из каждой из этих точек проводим дуги одинакового радиуса, большего половины расстояния между этими точками, так, чтобы они пересеклись вне треугольника (с противоположной стороны от вершины С).
3. Соединяем точку пересечения этих дуг с вершиной С. Полученная линия является высотой СН, перпендикулярной стороне АВ.

Если высота СН лежит вне треугольника, то угол АВ тупой, и высота будет проведена к продолжению стороны АВ.

Ответ: построены биссектриса АК, медиана ВМ и высота СН треугольника АВС.