Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
13. Дан выпуклый четырёхугольник АВСD. Докажите, что отрезки LN и КМ, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
Ответ:
Для доказательства того, что отрезки LN и KM, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, делят друг друга пополам, можно воспользоваться теоремой Вариньона.
Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника, а площадь равна половине площади четырехугольника.
- Пусть L и N — середины сторон AB и CD, а K и M — середины сторон BC и AD.
- Соединим точки L, K, M, N последовательно.
- По теореме Вариньона, LKMN — параллелограмм.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, LN и KM делят друг друга пополам.
Ответ: Отрезки LN и KM делят друг друга пополам, что следует из теоремы Вариньона.
Похожие
- 11. На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М — середина стороны АВ. Докажите, что 1 CM = DK. 2
- 12. B равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине А проведена биссектриса BD. B треугольник АВС вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке ВС, a вершина Е - на отрезке АВ. Докажите, что FH = 2DH.
- 14. Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону AD в точке М, равноудаленной и
- 15 Точка М лежит на стороне ВС выпуклого четырёхугольника АBCD, причём В и С вершины равнобедренных треугольников с основаниями АМ и DM соответственно, а прямые АМ и MD перпендикулярны. Докажите, что биссектрисы углов при вершинах В и С четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.
- 16. В прямоугольном треугольнике гольнике АВС с прямым углом С точки М и № середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота. Докажите, что прямые МН и №Н перпендикулярны.
- 17. На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = АВ. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке М. Докажите, что АМ – биссектриса треугольника АВС.
- 18. Прямая, проходящая через середину М гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, перпендикулярна СМ и пересекает катет АС в точке К. При этом АК: КС = 1 : 2. Докажите, что ВАС = 30°.
- 19. Известно, что ABCD трапеция, AD = 2BC, AD, BC основания. Точка М такова, что углы АВМ и MCD прямые. Доказать, что МА = MD.
- 20. Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3ВС, СМ — высота трапеции. Доказать, что М делит AD в отношении 2: 1.
- 21. B трапеции АВCD c основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. Докажите, что AB = CD.
- 22.Отрезок, соединяющий трапеции АВСD, середины М и № оснований ВС и AD соответственно разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Докажите, что трапеция АВСD равнобедренная.
- 23.Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую АВ в точке Е. B треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны АЕ в точке К и стороны AD в точке Т. Докажите, что прямые КТ и DE параллельны.
- 24. К окружности, вписанной B прямоугольник ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках Ми № соответственно. Докажите, что периметр треугольника АМN равен одной из сторон прямоугольника.
- 25.Две окружности касаются каждой из двух параллельных прямых. Докажите, что линия центров окружностей параллельная этим прямым.
- 26.В прямоугольном треугольнике катеты равны а и в, а гипотенуза равна с. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
