Дана арифметическая прогрессия (а), в которой aza₁ = 80; = 2. a5 а) Составьте формулу п-ого члена данной прогрессии.

Решение:

Дано:

\[ a_3 \cdot a_4 = 80 \] \[ \frac{a_2}{a_5} = 2 \]

Выразим \( a_2, a_3, a_4, a_5 \) через \( a_1 \) и d:

\[ a_2 = a_1 + d \] \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_4 = a_1 + 3d \] \[ a_5 = a_1 + 4d \]

Подставим в уравнения:

\[ (a_1 + 2d)(a_1 + 3d) = 80 \] \[ \frac{a_1 + d}{a_1 + 4d} = 2 \]

Из второго уравнения:

\[ a_1 + d = 2(a_1 + 4d) \] \[ a_1 + d = 2a_1 + 8d \] \[ a_1 = -7d \]

Подставим в первое уравнение:

\[ (-7d + 2d)(-7d + 3d) = 80 \] \[ (-5d)(-4d) = 80 \] \[ 20d^2 = 80 \] \[ d^2 = 4 \] \[ d = \pm 2 \]

Рассмотрим два случая:

1) Если \( d = 2 \), то \( a_1 = -7 \cdot 2 = -14 \)

\[ a_n = a_1 + (n-1)d = -14 + (n-1)2 = -14 + 2n - 2 = 2n - 16 \]

2) Если \( d = -2 \), то \( a_1 = -7 \cdot (-2) = 14 \)

\[ a_n = a_1 + (n-1)d = 14 + (n-1)(-2) = 14 - 2n + 2 = 16 - 2n \]

Ответ:

• \( a_n = 2n - 16 \) или \( a_n = 16 - 2n \)