Дана последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 7. а) Составьте формулу п-ого члена последовательности. б) Найдите сумму членов последовательности.

Решение:

а) Двузначные числа, кратные 7, образуют арифметическую прогрессию: 14, 21, 28, ..., 98.

Первый член этой прогрессии \( a_1 = 14 \), разность \( d = 7 \). Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

Подставляем известные значения:

\[ a_n = 14 + (n - 1)7 \] \[ a_n = 14 + 7n - 7 \] \[ a_n = 7n + 7 \]

б) Найдем количество членов в этой последовательности. Последний член равен 98.

\[ 98 = 7n + 7 \] \[ 7n = 91 \] \[ n = 13 \]

Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Подставляем значения:

\[ S_{13} = \frac{14 + 98}{2} \cdot 13 \] \[ S_{13} = \frac{112}{2} \cdot 13 \] \[ S_{13} = 56 \cdot 13 \] \[ S_{13} = 728 \]

Ответ:

• а) \( a_n = 7n + 7 \)
• б) \( S_{13} = 728 \)