Дана арифметическая прогрессия (а), в которой azaz = 112; = 2. a а) Составьте формулу п-ого члена данной прогрессии.

Решение:

Дано:

\[ a_2 \cdot a_5 = 112 \] \[ \frac{a_1}{a_5} = 2 \]

Из второго уравнения выразим \( a_1 \) через \( a_5 \):

\[ a_1 = 2a_5 \]

Подставим это в формулу для \( a_2 \) и \( a_5 \):

\[ a_2 = a_1 + d = 2a_5 + d \] \[ a_5 = a_1 + 4d = 2a_5 + 4d \]

Выразим d через \( a_5 \) из второго уравнения:

\[ -a_5 = 4d \] \[ d = -\frac{a_5}{4} \]

Подставим найденное значение d в первое уравнение:

\[ a_2 \cdot a_5 = (2a_5 - \frac{a_5}{4}) \cdot a_5 = 112 \] \[ (\frac{8a_5 - a_5}{4}) \cdot a_5 = 112 \] \[ \frac{7a_5^2}{4} = 112 \] \[ a_5^2 = \frac{112 \cdot 4}{7} \] \[ a_5^2 = 16 \cdot 4 \] \[ a_5^2 = 64 \] \[ a_5 = \pm 8 \]

Рассмотрим два случая:

1) Если \( a_5 = 8 \), то \( a_1 = 2 \cdot 8 = 16 \) и \( d = -\frac{8}{4} = -2 \)

\[ a_n = a_1 + (n-1)d = 16 + (n-1)(-2) = 16 - 2n + 2 = 18 - 2n \]

2) Если \( a_5 = -8 \), то \( a_1 = 2 \cdot (-8) = -16 \) и \( d = -\frac{-8}{4} = 2 \)

\[ a_n = a_1 + (n-1)d = -16 + (n-1)(2) = -16 + 2n - 2 = 2n - 18 \]

Ответ:

• \( a_n = 18 - 2n \) или \( a_n = 2n - 18 \)