Дана функция f(x) = x² - 2x - 1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = f(x), проходящей через точку A(0;-5)

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

Дана функция \( f(x) = x^2 - 2x - 1 \).

Найдем производную функции:

\[ f'(x) = (x^2 - 2x - 1)' = 2x - 2 \]

Пусть точка касания имеет абсциссу \( x_0 \). Тогда координаты точки касания: \( (x_0, f(x_0)) \), где \( f(x_0) = x_0^2 - 2x_0 - 1 \).

Значение производной в точке касания: \( f'(x_0) = 2x_0 - 2 \).

Уравнение касательной:

\[ y - (x_0^2 - 2x_0 - 1) = (2x_0 - 2)(x - x_0) \]

Так как касательная проходит через точку \( A(0, -5) \), подставим её координаты в уравнение касательной:

\[ -5 - (x_0^2 - 2x_0 - 1) = (2x_0 - 2)(0 - x_0) \]

\[ -5 - x_0^2 + 2x_0 + 1 = (2x_0 - 2)(-x_0) \]

\[ -x_0^2 + 2x_0 - 4 = -2x_0^2 + 2x_0 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ -x_0^2 + 2x_0^2 + 2x_0 - 2x_0 - 4 = 0 \]

\[ x_0^2 - 4 = 0 \]

\[ x_0^2 = 4 \]

Отсюда \( x_0 = 2 \) или \( x_0 = -2 \).

Случай 1: \( x_0 = 2 \)

Тогда \( f(2) = 2^2 - 2(2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1 \).

И \( f'(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2 \).

Уравнение касательной:

\[ y - (-1) = 2(x - 2) \]

\[ y + 1 = 2x - 4 \]

\[ y = 2x - 5 \]

Случай 2: \( x_0 = -2 \)

Тогда \( f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 \).

И \( f'(-2) = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6 \).

Уравнение касательной:

\[ y - 7 = -6(x - (-2)) \]

\[ y - 7 = -6(x + 2) \]

\[ y - 7 = -6x - 12 \]

\[ y = -6x - 5 \]

Проверим, проходит ли касательная через точку A(0;-5):

Для \( y = 2x - 5 \): \( -5 = 2(0) - 5 \) → \( -5 = -5 \) (Верно)

Для \( y = -6x - 5 \): \( -5 = -6(0) - 5 \) → \( -5 = -5 \) (Верно)

Таким образом, существуют две касательные к графику функции, проходящие через точку A(0;-5).

Ответ: \( y = 2x - 5 \) и \( y = -6x - 5 \)