На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0=1. Найдите f'(x_0)

Решение:

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. На рисунке видно, что касательная к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 = 1 \) проходит через точки \( (0, 3) \) и \( (1, 0) \).

Угловой коэффициент \( k \) прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), находится по формуле: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

В нашем случае \( x_1 = 0, y_1 = 3 \) и \( x_2 = 1, y_2 = 0 \).

Тогда угловой коэффициент касательной равен:

\[ k = \frac{0 - 3}{1 - 0} = \frac{-3}{1} = -3 \]

Так как \( f'(x_0) = k \), то \( f'(1) = -3 \).

Ответ: -3