15. Дана функция $$f(x)=|x|x-|x|-3x$$. 1) Постройте график функции $$y = f(x)$$. 2) При каких значениях $$m$$ уравнение $$f(x)=m$$ имеет ровно два решения?

Решение: 1) Построим график функции $$y = f(x)$$. Сначала рассмотрим функцию $$f(x)$$ при различных значениях $$x$$: - Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и $$f(x) = x \cdot x - x - 3x = x^2 - 4x$$. - Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и $$f(x) = -x \cdot x - (-x) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$$. Таким образом, функция $$f(x)$$ задается кусочно: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$$ Для построения графика определим ключевые точки для каждой части. - Для $$x \geq 0$$: $$f(x) = x^2 - 4x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$. Значение функции в вершине: $$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$$. Пересечение с осью $$x$$: $$x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0$$ или $$x = 4$$. - Для $$x < 0$$: $$f(x) = -x^2 - 2x$$. Это перевернутая парабола с вершиной в точке $$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$$. Значение функции в вершине: $$f(-1) = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1$$. Пересечение с осью $$x$$: $$-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow -x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0$$ или $$x = -2$$. Теперь мы можем нарисовать график функции. ```html ``` 2) Уравнение $$f(x) = m$$ имеет ровно два решения, когда горизонтальная прямая $$y = m$$ пересекает график функции $$f(x)$$ ровно в двух точках. Из графика видно, что это происходит при $$m = -4$$ и $$m = 1$$. Ответ: Уравнение $$f(x) = m$$ имеет ровно два решения при $$m = -4$$ и $$m = 1$$. **Ответ: -4; 1**