15. Дана функция f(x) = |x-3|-|x+3|. 1) Постройте график функции у = f(x). 2) При каких значениях к уравнение f(x) = kx имеет ровно три решения?

Решение:

1) Для построения графика функции \( f(x) = |x-3| - |x+3| \) рассмотрим несколько случаев:

• Если \( x < -3 \), то \( f(x) = -(x-3) - (-(x+3)) = -x + 3 + x + 3 = 6 \).
• Если \( -3 \le x \le 3 \), то \( f(x) = -(x-3) - (x+3) = -x + 3 - x - 3 = -2x \).
• Если \( x > 3 \), то \( f(x) = (x-3) - (x+3) = x - 3 - x - 3 = -6 \).

Таким образом, функция имеет вид:

\[ f(x) = \begin{cases} 6, & x < -3 \\ -2x, & -3 \le x \le 3 \\ -6, & x > 3 \end{cases} \]

2) Уравнение \( f(x) = kx \) имеет ровно три решения, когда прямая \( y = kx \) пересекает график функции \( f(x) \) в трех точках.

• При \( k = 0 \) уравнение имеет два решения: \( x = -3 \) и \( x = 3 \)

Рассмотрим случай, когда прямая проходит через точку \( (-3; 6) \):

\[ 6 = k \cdot (-3) \implies k = -2 \]

В этом случае прямая \( y = -2x \) совпадает с участком графика \( f(x) \) при \( -3 \le x \le 3 \), и уравнение имеет бесконечно много решений.

Прямая \( y = kx \) должна проходить через точку из отрезка \( -3 \le x \le 3 \).

Следовательно, чтобы уравнение имело ровно три решения, необходимо, чтобы прямая \( y=kx \) пересекала график в точках \( x=-3 \) и \( x=3 \) и в какой-то точке на интервале \( (-3,3) \). Это происходит только при \( k = 2 \).

Ответ: k = 0; k = 2