4 Дана последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 7. кратных 6. а) Составьте формулу п-ого члена последовательности. б) Найдите сумму членов последовательности.

Решение:

Последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

Последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 6: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.

а) Составим формулу n-го члена последовательности:

• Для чисел, кратных 7:

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 14 \) и разностью \( d = 7 \). Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n - 1)d \). Подставляем значения: \( a_n = 14 + (n - 1)7 = 14 + 7n - 7 = 7n + 7 \). Итак, \( a_n = 7n + 7 \).

• Для чисел, кратных 6:

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 12 \) и разностью \( d = 6 \). Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n - 1)d \). Подставляем значения: \( a_n = 12 + (n - 1)6 = 12 + 6n - 6 = 6n + 6 \). Итак, \( a_n = 6n + 6 \).

б) Найдем сумму членов последовательности:

• Для чисел, кратных 7:

Количество членов в последовательности равно 13. Сумма арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \). Найдем последний член: \( a_{13} = 7 \cdot 13 + 7 = 91 + 7 = 98 \). Тогда, \( S_{13} = \frac{14 + 98}{2} \cdot 13 = \frac{112}{2} \cdot 13 = 56 \cdot 13 = 728 \). Итак, \( S_{13} = 728 \).

• Для чисел, кратных 6:

Количество членов в последовательности равно 15. Сумма арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \). Найдем последний член: \( a_{15} = 6 \cdot 15 + 6 = 90 + 6 = 96 \). Тогда, \( S_{15} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810 \). Итак, \( S_{15} = 810 \).

Ответ:

• a) Для кратных 7: \( a_n = 7n + 7 \); для кратных 6: \( a_n = 6n + 6 \).
• б) Для кратных 7: \( S_{13} = 728 \); для кратных 6: \( S_{15} = 810 \).