Вариант В2 Дана арифметическая прогрессия (а), в которой a₃a₄ = 80; = 2. a₅ а) Составьте формулу п-ого члена данной прогрессии.

Решение:

Дано:

\[ a_3 \cdot a_4 = 80 \]

\[ \frac{a_2}{a_5} = 2 \]

Выразим \( a_2, a_3, a_4 \) и \( a_5 \) через \( a_1 \) и \( d \):

\[ a_2 = a_1 + d \]

\[ a_3 = a_1 + 2d \]

\[ a_4 = a_1 + 3d \]

\[ a_5 = a_1 + 4d \]

Подставим в \( \frac{a_2}{a_5} = 2 \):

\[ \frac{a_1 + d}{a_1 + 4d} = 2 \Rightarrow a_1 + d = 2(a_1 + 4d) \Rightarrow a_1 + d = 2a_1 + 8d \Rightarrow a_1 = -7d \]

Подставим \( a_1 = -7d \) в \( a_3 \cdot a_4 = 80 \):

\[ (-7d + 2d) \cdot (-7d + 3d) = 80 \Rightarrow (-5d) \cdot (-4d) = 80 \Rightarrow 20d^2 = 80 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2 \]

Рассмотрим два случая:

1) Если \( d = 2 \), то \( a_1 = -7 \cdot 2 = -14 \). Тогда \( a_n = a_1 + (n-1)d = -14 + (n-1)2 = -14 + 2n - 2 = 2n - 16 \).

2) Если \( d = -2 \), то \( a_1 = -7 \cdot (-2) = 14 \). Тогда \( a_n = a_1 + (n-1)d = 14 + (n-1)(-2) = 14 - 2n + 2 = 16 - 2n \).

Ответ:

\[ a_n = 2n - 16 \] или \( a_n = 16 - 2n \)