Дана правильная четырехугольная пирамида с боковыми ребрами 7. равными 10 и высотой - 2√7. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

• Шаг 1: Найдем сторону основания пирамиды.

Боковое ребро, половина диагонали основания и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник, в котором выполняется теорема Пифагора:

\[a^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2\]

где \(a = 10\), \(h = 2\sqrt{7}\)

Тогда \(100 = (2\sqrt{7})^2 + (\frac{d}{2})^2 = 4 \cdot 7 + (\frac{d}{2})^2 = 28 + (\frac{d}{2})^2\)

Отсюда \((\frac{d}{2})^2 = 100 - 28 = 72\), следовательно, \(\frac{d}{2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\\)

Тогда диагональ основания \(d = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\\)

Сторона основания равна \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12\)

• Шаг 2: Найдем апофему пирамиды.

Апофема, половина стороны основания и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник, в котором выполняется теорема Пифагора:

\[l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\]

Тогда \(l^2 = (2\sqrt{7})^2 + (\frac{12}{2})^2 = 4 \cdot 7 + 36 = 28 + 36 = 64\)

Отсюда \(l = \sqrt{64} = 8\)

• Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P l = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = 2al = 2 \cdot 12 \cdot 8 = 192\]

• Шаг 4: Найдем площадь основания пирамиды:

\[S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144\]

• Шаг 5: Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

\[S = S_{бок} + S_{осн} = 192 + 144 = 336\]