Дана правильная четырехугольная пирамида с боковыми ребрами равными 10 и высотой 2√7. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Ответ: 96

1. Обозначим сторону основания как \(a\), а высоту пирамиды как \(h = 2\sqrt{7}\). Боковое ребро пирамиды равно \(10\).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали основания, высотой пирамиды и боковым ребром. По теореме Пифагора: \[(\frac{d}{2})^2 + h^2 = 10^2\] где \(d\) - диагональ основания.
3. Также, диагональ квадрата связана со стороной соотношением \(d = a\sqrt{2}\), поэтому \(\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
4. Подставим это в первое уравнение: \[(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + (2\sqrt{7})^2 = 100\] \[\frac{a^2 \cdot 2}{4} + 4 \cdot 7 = 100\] \[\frac{a^2}{2} + 28 = 100\] \[\frac{a^2}{2} = 72\] \[a^2 = 144\] \[a = 12\]
5. Площадь основания равна \(a^2 = 12^2 = 144\).
6. Найдем апофему боковой грани (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды. По теореме Пифагора: \[l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2\] \[l^2 = (2\sqrt{7})^2 + (\frac{12}{2})^2\] \[l^2 = 4 \cdot 7 + 6^2\] \[l^2 = 28 + 36 = 64\] \[l = 8\]
7. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P l = \frac{1}{2} (4a) l = 2al = 2 \cdot 12 \cdot 8 = 192\]
8. Площадь полной поверхности равна \(S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 192\).

Ответ: 96