Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, A₁, B₁.

Решение:

Объём призмы вычисляется по формуле: \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота призмы.

По условию:

• Площадь основания \( S_{осн} = 9 \).
• Боковое ребро равно высоте призмы, \( h = 7 \).

Объём многогранника ABCDA₁B₁C₁D₁:

\[ V = 9 \cdot 7 = 63 \]

Вершинами многогранника, о котором идет речь в задании, являются точки А, B, C, A₁, B₁.

Этот многогранник является треугольной призмой, так как в основании лежит треугольник ABC (половина квадрата ABCD), а высота равна высоте четырёхугольной призмы.

Площадь основания треугольной призмы равна половине площади основания четырёхугольной призмы: \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Площадь основания четырёхугольной призмы равна 9. Следовательно, площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна:

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5 \]

Высота призмы равна 7.

Объём треугольной призмы ABC A₁B₁C₁:

\[ V_{треуг. призмы} = S_{\triangle ABC} \cdot h = 4.5 \cdot 7 = 31.5 \]

Ответ: 31,5