Дана прямоугольная трапеция ABCD, ∠A = ∠B = 90°. AB = 8 см, ∠CAD = 45°, CK — высота, AK : KD = 2 : 1. Найдите среднюю линию трапеции.

В прямоугольном треугольнике ACK угол K прямой, а ∠CAK = 45°. Значит, треугольник равнобедренный: AK = CK.

Высота CK равна высоте трапеции AB, поэтому AK = CK = AB = 8 см.

Из отношения AK : KD = 2 : 1 получаем KD = 4 см. Тогда AD = AK + KD = 8 + 4 = 12 см.

В прямоугольной трапеции BC = AK = 8 см. Средняя линия равна полусумме оснований:

\(m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10\) см.

Ответ: 10 см.