4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (ZA = 90°), в которую вписана окружность радиусом 12 см. Сторона CD равна 38 см. Найди среднюю линию трапеции.

Пусть ABCD - данная прямоугольная трапеция, где ∠A = 90°. Так как в трапецию вписана окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований. Также известно, что высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть 2 * 12 = 24 см. В прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Следовательно, AB = 24 см. Пусть BC = x, тогда AD = 24 + 38 - x = 62 - x. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной CD, высотой и частью большего основания AD, найдем проекцию CD на AD: AD - BC = (62 - x) - x = 62 - 2x. По теореме Пифагора: $$CD^2 = (AD-BC)^2 + AB^2$$. Получаем: $$38^2 = (62 - 2x)^2 + 24^2$$ $$1444 = (62 - 2x)^2 + 576$$ $$(62 - 2x)^2 = 868$$ $$62 - 2x = \sqrt{868} = 2\sqrt{217}$$ $$2x = 62 - 2\sqrt{217}$$ $$x = 31 - \sqrt{217}$$ Тогда BC = $$31 - \sqrt{217}$$, AD = $$62 - (31 - \sqrt{217}) = 31 + \sqrt{217}$$ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$\frac{BC+AD}{2} = \frac{31 - \sqrt{217} + 31 + \sqrt{217}}{2} = \frac{62}{2} = 31$$ Ответ: Средняя линия трапеции равна 31 см.