Дана точка М(2; -2). Укажите координаты точек А, В, С и D, если – точка А симметрична точке М относительно начала координат; – точка В симметрична точке М относительно оси Ох; – в точку С переходит точка М при параллельном переносе на вектор а {1; 4); – в точку D переходит точка М при повороте по часовой стрелке относительно начала координат на угол 45°.

Разбираемся:

• Точка А симметрична точке М(2; -2) относительно начала координат: A(-2; 2).
• Точка В симметрична точке М(2; -2) относительно оси Ox: B(2; 2).
• В точку С переходит точка М(2; -2) при параллельном переносе на вектор a{1; 4}: С(2 + 1; -2 + 4) = C(3; 2).
• В точку D переходит точка М(2; -2) при повороте по часовой стрелке относительно начала координат на угол 45°. Для этого используем формулы поворота: x' = x*cos(θ) + y*sin(θ), y' = -x*sin(θ) + y*cos(θ), где θ = 45°.
  \[ x' = 2 \cdot cos(45°) + (-2) \cdot sin(45°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \]
  \[ y' = -2 \cdot sin(45°) + (-2) \cdot cos(45°) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} \]
  D(0; -2√2).

Ответ: A(-2; 2), B(2; 2), C(3; 2), D(0; -2√2).